梯形法则的简单证明

在初等微积分教材中，谈及数值积分时应当会谈论到梯形法则的误差但不给出其证明，这里给出一种简单证明。

Theorem: Error Estimates in The Trapezoidal Rule > The Trapezoidal Rule > > To approxmate \(\displaystyle\int_a^b f(x) \text{d}x\), use > \[ T = \frac{b - a}{2n}\left(f\left(x_0\right) + f\left(x_n\right) +\sum_{i = 1}^{n - 1}2f\left(x_i\right)\right) \] > when \(x_0 = a\), \(x_i = x_{i - 1} + \dfrac{b - a}{n}(1\le i\le n)\).

The error \(E_T\) of The Trapezoidal Rule satisfies \[ \left|E_T\right| = \left|\int_a^b f(x) \text{d} x - T\right|\le \frac{M(b - a)^3}{12n^2} \] when \(M = \displaystyle\max_{a\le x\le b}\left|f''(x)\right|\).

梯度法则通过近似每个区间梯形面积进而近似整个积分，平凡的想法也即通过对每一个区间的误差求和即得到总误差，即对于每个 \(i\in[1, n]\), 希望计算

\[ \int_{x_{i - 1}}^{x_i} f(x) \text dx - \frac{(f(x_i) + f(x_{i - 1}))(b - a)}{2n} \]

应当注意到的是，不等式右侧与二阶导有关，则可以通过两次分部积分法使出现 \(f''\)，并使得误差仅与其相关，记 \(h = \dfrac{b - a}{n}\)，则

\[ \int_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h}f(x) \text dx = \left[(x + A)f(x) - \left(\frac{(x + A)^2}2 + B\right)f'(x)\right]_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h} + \int_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h}\left(\frac{(x + A)^2}2 + B\right)f''(x) \text dx \]

其中 \(A\), \(B\) 为任意常数。要使得误差仅与二阶导相关，也即

\[ (x_{i - 1} + h + A)f(x_{i - 1} + h) - (x_{i - 1} + A)f(x_{i - 1}) = \frac{(f(x_{i - 1} + h) + f(x_{i - 1}))h}{2} \]

比较常数可知，\(x_i + h + A = -x_{i - 1} - A \implies A = -\dfrac h2 - x_{i - 1}\)，此时等式恰好成立。

同时，

\[ \left(\frac{(x_{i - 1} + A)^2}2 + B\right)f'(x_{i - 1}) = \left(\frac{(x_{i - 1} + h + A)^2}2 + B\right)f'(x_{i - 1} + h) \]

成立，不难得出 \(B = -\dfrac {h^2}8\)

综上，当 \((A, B) = \left(-\dfrac h2 - x_{i - 1}, -\dfrac {h^2}{8}\right)\) 时，

\[ \begin{aligned} \left|E_T\right| &= \left|\sum_{i = 1}^n \int_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h}\left(\frac{(x + A)^2}2 + B\right)f''(x) \text dx\right|\\ &= \left|\int_{0}^{h}\left(\frac{(t - h/2)^2}2 -\frac{h^2}8\right)\sum_{i = 1}^nf''(t + x_{i - 1}) \text dt\right|\\ &\le \int_{0}^{h}\left(\frac{h^2}8 - \frac{(t - h/2)^2}2\right)\sum_{i = 1}^n\left|f''(t + x_{i - 1})\right| \text dt\\ &\le nM \left[\frac{h^2t}8 - \frac{(t - h/2)^3}6\right]_0^h\\ &=\frac{M(b - a)^3}{12n^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \square \end{aligned} \]

上述放缩过程中，我们直接分别取绝对值再直接取最大值，放缩是极为粗糙的。

以上