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量子计算中， $I, X, Y, Z$ 作为最基础的四种 Pauli 算符，作用在单量子比特上噪声较小，因此我们将这四种构成一组 Pauli 基，研究其他 Cifford 门（通常是 CNOT、CZ）的噪声。

X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

当量子门的噪声在 Pauli 基上相干时，噪声的累积使电路最终的噪声难以分析；Pauli Twirling 则提出了一个方法，使相干的噪声尽量趋于形似随机翻转、随机相位的噪声。形式化的，

Pauli 算符是自反正交的，也即

P_i P_j = \begin{cases} 0 & i \neq j\\ I_{2^n} &i = j \end{cases}

证明是显然的；据于此，在 $R_\Lambda$ 定义式两边左乘任一 Pauli 算符，有

P_i \Lambda(P_j) = \sum_k (R_\Lambda)_{kj} P_i P_k

也即

P_i \Lambda(P_j) = (R_\Lambda)_{ij} I_{2^n}

两边取迹可得

\boxed{ (R_\Lambda)_{ij} = \frac{1}{2^n} \text{Tr}[P_i \Lambda(P_j)] }

通过 $R_\Lambda$ ，我们可以定量分析噪声引入对 Pauli 基相干程度的影响。

具体来说，噪声通道 PTM 的对角项反映了噪声对某个 Pauli 基的影响，非对角项反映了噪声引入后导致的 Pauli 基相互影响；Pauli Twirling 则通过在高噪声量子门前后添加纯 Pauli 门使噪声通道 PTM 只保留对角项。形式上的，令理想量子电路为 $\mathcal U$ ，实际硬件上电路后存在噪声通道 $\Lambda$ ，对实际电路 Twirling 即为

\mathcal U_{T} = \mathcal C_{T^c} \circ \Lambda \circ \mathcal U \circ \mathcal C_{T} \text{ where } \mathcal C_Q(\rho) = Q\rho Q

其中 $T \in \mathcal P_n$ ，根据 Clifford 的门的定义， $T^c \in \mathcal P_n$ 满足

U T = T^c U \implies T^c = U T U^\dagger

从而有

U \circ \mathcal C_T = \mathcal C_{T^c} \circ U

因此

\boxed{ \mathcal U_T = \mathcal C_{T^c} \circ \Lambda \circ \mathcal C_{T^c} \circ \mathcal U }

这意味着，我们在实际电路前后添加 Pauli 门不会改变电路的逻辑，只会对噪声通道产生影响。形式化的，对于 Pauli 基上的任一算符 $P_j$ ，Twirling 后的通道取每一个 Pauli 基的算数平均，也即

\begin{aligned} \mathcal T (\Lambda)(P_j) &= \frac{1}{4^n} \sum_{Q} Q\Lambda(QP_j Q) Q = \frac{1}{4^n} \sum_{Q} Q \sum_i s_{Qj} (R_\Lambda)_{ij} P_i Q \\ &= \frac{1}{4^n} \sum_Q \sum_i s_{Qi}s_{Qj} (R_\Lambda)_{ij} P_i = \frac{1}{4^n} \sum_i (R_\Lambda)_{ij} P_i \sum_Q s_{Qi}s_{Qj} \end{aligned}

其中 $s_{Qi} = \pm 1$ 满足

Q P_i Q = s_{Qi} P_i, \frac{1}{4^n}\sum_Q s_{Qi}s_{Qj} = \delta_{ij}

证明是平凡的。

因此，

\boxed{ \mathcal T (\Lambda)(P_i) = (R_{\Lambda}) P_i \implies R_{\mathcal T(\Lambda)} = \text{diag}(R_{11}, R_{22}, \cdots) }

所以，在 Twirling 后，噪声不会导致 Pauli 基之间的误差累积，而仅作用于某一 Pauli 基上。

Pauli Twirling：从小学二年级学起