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Pauli Twirling：从小学二年级学起

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量子计算中，I,X,Y,ZI, X, Y, Z 作为最基础的四种 Pauli 算符，作用在单量子比特上噪声较小，因此我们将这四种构成一组 Pauli 基，研究其他 Cifford 门（通常是 CNOT、CZ）的噪声。

X=[0110],Y=[0−ii0],Z=[100−1]X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

当量子门的噪声在 Pauli 基上相干时，噪声的累积使电路最终的噪声难以分析；Pauli Twirling 则提出了一个方法，使相干的噪声尽量趋于形似随机翻转、随机相位的噪声。形式化的，

Pauli 算符是自反正交的，也即

PiPj={0i≠jI2ni=jP_i P_j = \begin{cases} 0 & i \neq j\\ I_{2^n} &i = j \end{cases}

证明是显然的；据于此，在 RΛR_\Lambda 定义式两边左乘任一 Pauli 算符，有

PiΛ(Pj)=∑k(RΛ)kjPiPkP_i \Lambda(P_j) = \sum_k (R_\Lambda)_{kj} P_i P_k

也即

PiΛ(Pj)=(RΛ)ijI2nP_i \Lambda(P_j) = (R_\Lambda)_{ij} I_{2^n}

两边取迹可得

(RΛ)ij=12nTr[PiΛ(Pj)]\boxed{ (R_\Lambda)_{ij} = \frac{1}{2^n} \text{Tr}[P_i \Lambda(P_j)] }

通过 RΛR_\Lambda，我们可以定量分析噪声引入对 Pauli 基的相干程度。