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梯形法则的简单证明

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在初等微积分教材中，谈及数值积分时应当会谈论到梯形法则的误差但不给出其证明，这里给出一种简单证明。

Theorem: Error Estimates in The Trapezoidal Rule

The Trapezoidal Rule

To approxmate ∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x) \text{d}x, use T=b−a2n(f(x0)+f(xn)+∑i=1n−12f(xi))T = \frac{b - a}{2n}\left(f\left(x_0\right) + f\left(x_n\right) +\sum_{i = 1}^{n - 1}2f\left(x_i\right)\right) when x0=ax_0 = a, xi=xi−1+b−an(1≤i≤n)x_i = x_{i - 1} + \dfrac{b - a}{n}(1\le i\le n).

The error ETE_T of The Trapezoidal Rule satisfies ∣ET∣=∣∫abf(x)dx−T∣≤M(b−a)312n2\left|E_T\right| = \left|\int_a^b f(x) \text{d} x - T\right|\le \frac{M(b - a)^3}{12n^2} when M=max⁡a≤x≤b∣f′′(x)∣M = \displaystyle\max_{a\le x\le b}\left|f''(x)\right|.

梯度法则通过近似每个区间梯形面积进而近似整个积分，平凡的想法也即通过对每一个区间的误差求和即得到总误差，即对于每个 i∈[1,n]i\in[1, n], 希望计算

∫xi−1xif(x)dx−(f(xi)+f(xi−1))(b−a)2n\int_{x_{i - 1}}^{x_i} f(x) \text dx - \frac{(f(x_i) + f(x_{i - 1}))(b - a)}{2n}

应当注意到的是，不等式右侧与二阶导有关，则可以通过两次分部积分法使出现 f′′f''，并使得误差仅与其相关，记 h=b−anh = \dfrac{b - a}{n}，则

∫xi−1xi−1+hf(x)dx=[(x+A)f(x)−((x+A)22+B)f′(x)]xi−1xi−1+h+∫xi−1xi−1+h((x+A)22+B)f′′(x)dx\int_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h}f(x) \text dx = \left[(x + A)f(x) - \left(\frac{(x + A)^2}2 + B\right)f'(x)\right]_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h} + \int_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h}\left(\frac{(x + A)^2}2 + B\right)f''(x) \text dx

其中 AA, BB 为任意常数。要使得误差仅与二阶导相关，也即

(xi−1+h+A)f(xi−1+h)−(xi−1+A)f(xi−1)=(f(xi−1+h)+f(xi−1))h2(x_{i - 1} + h + A)f(x_{i - 1} + h) - (x_{i - 1} + A)f(x_{i - 1}) = \frac{(f(x_{i - 1} + h) + f(x_{i - 1}))h}{2}

比较常数可知，xi+h+A=−xi−1−A  ⟹  A=−h2−xi−1x_i + h + A = -x_{i - 1} - A \implies A = -\dfrac h2 - x_{i - 1}，此时等式恰好成立。

同时，

((xi−1+A)22+B)f′(xi−1)=((xi−1+h+A)22+B)f′(xi−1+h)\left(\frac{(x_{i - 1} + A)^2}2 + B\right)f'(x_{i - 1}) = \left(\frac{(x_{i - 1} + h + A)^2}2 + B\right)f'(x_{i - 1} + h)

成立，不难得出 B=−h28B = -\dfrac {h^2}8

综上，当 (A,B)=(−h2−xi−1,−h28)(A, B) = \left(-\dfrac h2 - x_{i - 1}, -\dfrac {h^2}{8}\right) 时，

∣ET∣=∣∑i=1n∫xi−1xi−1+h((x+A)22+B)f′′(x)dx∣=∣∫0h((t−h/2)22−h28)∑i=1nf′′(t+xi−1)dt∣≤∫0h(h28−(t−h/2)22)∑i=1n∣f′′(t+xi−1)∣dt≤nM[h2t8−(t−h/2)36]0h=M(b−a)312n2                                                          □\begin{aligned} \left|E_T\right| &= \left|\sum_{i = 1}^n \int_{x_{i - 1}}^{x_{i - 1}+h}\left(\frac{(x + A)^2}2 + B\right)f''(x) \text dx\right|\\ &= \left|\int_{0}^{h}\left(\frac{(t - h/2)^2}2 -\frac{h^2}8\right)\sum_{i = 1}^nf''(t + x_{i - 1}) \text dt\right|\\ &\le \int_{0}^{h}\left(\frac{h^2}8 - \frac{(t - h/2)^2}2\right)\sum_{i = 1}^n\left|f''(t + x_{i - 1})\right| \text dt\\ &\le nM \left[\frac{h^2t}8 - \frac{(t - h/2)^3}6\right]_0^h\\ &=\frac{M(b - a)^3}{12n^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \square \end{aligned}

上述放缩过程中，我们直接分别取绝对值再直接取最大值，放缩是极为粗糙的。

以上